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虚数有什么用

发布时间: 2018-12-10
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众所周知,虚数自身的(de)平方是负数,它在(zai)现实(shi)中并(bing)不存在(zai)。虚构(gou)一个现实(shi)中不存在(zai)的(de)概念,有什么用呢?

在初中学(xue)(xue)到“平(ping)方(fang)(fang)根(gen)(gen)”这个(ge)概念时(shi)(shi)(shi),我(wo)(wo)们(men)说只有正数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和零才有平(ping)方(fang)(fang)根(gen)(gen)——没有哪个(ge)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)字(zi)(zi)自己乘以自己会等于(yu)负(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。在解二次方(fang)(fang)程(cheng)时(shi)(shi)(shi),我(wo)(wo)们(men)可(ke)能会遇(yu)到根(gen)(gen)号(hao)里面有一个(ge)负(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)情况(kuang),此时(shi)(shi)(shi)认(ren)定它无实(shi)(shi)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)解即可(ke),所以并不需要对(dui)负(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)开平(ping)方(fang)(fang)。但是(shi)当学(xue)(xue)到三(san)(san)次方(fang)(fang)程(cheng)时(shi)(shi)(shi),这个(ge)问题就(jiu)回避(bi)不了(le)(le)了(le)(le),因为根(gen)(gen)据三(san)(san)次方(fang)(fang)程(cheng)的(de)求(qiu)根(gen)(gen)公式,即使一个(ge)有实(shi)(shi)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)解的(de)三(san)(san)次方(fang)(fang)程(cheng),在求(qiu)解的(de)过程(cheng)中,也会遇(yu)到要对(dui)负(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)开根(gen)(gen)号(hao)的(de)情况(kuang)。于(yu)是(shi)给负(fu)(fu)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)开根(gen)(gen)号(hao)就(jiu)绕不过去了(le)(le)。数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)学(xue)(xue)家们(men)只好(hao)虚构(gou)出一个(ge)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu),让它的(de)平(ping)方(fang)(fang)等于(yu)-1,这个(ge)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)写成字(zi)(zi)母i,是(shi)拉(la)丁语中imagini“影(ying)像(xiang)”一词的(de)首字(zi)(zi)母,它代表非真实(shi)(shi)、幻(huan)影(ying)的(de)意思(si)。这就(jiu)是(shi)虚数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。有了(le)(le)虚数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu),三(san)(san)次方(fang)(fang)程(cheng)就(jiu)能顺(shun)利求(qiu)解了(le)(le)。如果三(san)(san)次方(fang)(fang)程(cheng)有实(shi)(shi)根(gen)(gen),那(nei)么算出的(de)就(jiu)是(shi)实(shi)(shi)数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)——虚数(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)去哪了(le)(le),它们(men)正负(fu)(fu)抵消了(le)(le)。

这件事细想是(shi)很有意(yi)思(si)的(de)(de)。现实(shi)(shi)世界里(li)给(ji)一(yi)(yi)些限制条件后计(ji)(ji)算一(yi)(yi)个(ge)长方(fang)体(ti)的(de)(de)体(ti)积(ji),就(jiu)是(shi)一(yi)(yi)个(ge)一(yi)(yi)元三(san)次(ci)方(fang)程,这就(jiu)是(shi)解三(san)次(ci)方(fang)程的(de)(de)问(wen)题,用卡尔达诺公式(shi),可(ke)以(yi)计(ji)(ji)算出问(wen)题的(de)(de)答案。但是(shi)算到(dao)一(yi)(yi)半(ban)遇(yu)到(dao)一(yi)(yi)堵墙越不(bu)过去了,于是(shi)引入一(yi)(yi)个(ge)不(bu)存在(zai)(zai)的(de)(de)工具,用一(yi)(yi)下就(jiu)翻过墙了。明明是(shi)现实(shi)(shi)世界的(de)(de)问(wen)题,而(er)且在(zai)(zai)现实(shi)(shi)世界里(li)也有答案,但是(shi)却无法直(zhi)接(jie)得到(dao),非要发明一(yi)(yi)个(ge)不(bu)存在(zai)(zai)的(de)(de)东西(xi)作为桥梁。

怎么(me)(me)理解虚数(shu)的(de)(de)(de)上述作用(yong)呢?虚数(shu)就(jiu)像(xiang)化(hua)学中的(de)(de)(de)催化(hua)剂。催化(hua)剂在(zai)化(hua)学反(fan)应完成(cheng)前后(hou)是(shi)不改变的(de)(de)(de),它只是(shi)起到一个媒介(jie)的(de)(de)(de)作用(yong),但是(shi)没(mei)有(you)它,化(hua)学反(fan)应要么(me)(me)特(te)别慢,要么(me)(me)干脆(cui)进行(xing)不下去。虚数(shu)更(geng)像(xiang)是(shi)传话筒,当两个人距离很远(yuan)时,它可以(yi)快速(su)传话,使得交流(liu)能够(gou)继续。从更(geng)广义的(de)(de)(de)角度讲,很多数(shu)学工(gong)具都是(shi)如此(ci),它们并非我们这个世界(jie)(jie)存在(zai)的(de)(de)(de)东西,而是(shi)完全由(you)逻(luo)辑虚构出来(lai)的(de)(de)(de),但是(shi),用(yong)这些虚构的(de)(de)(de)工(gong)具却能解决(jue)现实世界(jie)(jie)的(de)(de)(de)事情。多神(shen)奇!

那么虚数除了解(jie)三次方程(cheng)还(hai)有什么用(yong)(yong)?它的用(yong)(yong)途(tu)可以归结为三个层面。

第一是对于数(shu)学本身(shen)的(de)(de)(de)(de)影响。引(yin)入(ru)虚(xu)数(shu)的(de)(de)(de)(de)概念后(hou),数(shu)学的(de)(de)(de)(de)一些逻(luo)辑上可能的(de)(de)(de)(de)漏洞就被补上了(le)。比如说,在实数(shu)的(de)(de)(de)(de)范围(wei)内,有(you)的(de)(de)(de)(de)多(duo)项(xiang)式方(fang)程(cheng)有(you)解,有(you)的(de)(de)(de)(de)无解,数(shu)学就不完美(mei)了(le)。引(yin)入(ru)一个虚(xu)拟的(de)(de)(de)(de)概念——虚(xu)数(shu)i,就让(rang)所(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)方(fang)程(cheng)都变(bian)得有(you)解了(le)。更漂亮的(de)(de)(de)(de)是,引(yin)入(ru)虚(xu)数(shu)的(de)(de)(de)(de)概念后(hou),所(suo)有(you)的(de)(de)(de)(de)一元N次方(fang)程(cheng)都会有(you)N个解,没有(you)例外。

第(di)二是作为(wei)工具(ju)的(de)(de)(de)作用(yong)(yong)(yong)。有(you)了虚(xu)(xu)数(shu)之后(hou),很多复杂的(de)(de)(de)数(shu)学问(wen)题可以用(yong)(yong)(yong)简单(dan)(dan)的(de)(de)(de)方(fang)法(fa)解决,这(zhei)就如同前面(mian)介绍的(de)(de)(de)三(san)次方(fang)程(cheng)的(de)(de)(de)解法(fa)问(wen)题。虚(xu)(xu)数(shu)作为(wei)数(shu)学工具(ju)最大的(de)(de)(de)用(yong)(yong)(yong)途,是便于将直角(jiao)坐标变成极(ji)(ji)坐标。在飞行、航海等(deng)场(chang)景里,极(ji)(ji)坐标更方(fang)便使(shi)用(yong)(yong)(yong)。在极(ji)(ji)坐标的(de)(de)(de)计算(suan)中,如果只用(yong)(yong)(yong)实(shi)数(shu)非常复杂,如果引入虚(xu)(xu)数(shu)就极(ji)(ji)为(wei)简单(dan)(dan)。

第三(san)是应用(yong)层面。量子(zi)力学、相对论(lun)、信(xin)号处理、流(liu)体(ti)力学和(he)控制系统的发(fa)展(zhan)都离(li)不开虚(xu)数。

通过虚(xu)数这个例子(zi),我们可(ke)以看到,人类可(ke)能是(shi)唯一(yi)一(yi)个能够(gou)构想出不(bu)存(cun)在的(de)(de)(de)(de)事物(wu)的(de)(de)(de)(de)物(wu)种,这个能力非常(chang)重(zhong)要。在我们生活的(de)(de)(de)(de)世界(jie)里,存(cun)在着(zhe)大量(liang)构想出来的(de)(de)(de)(de)东西。比如组织、有(you)(you)限公(gong)司、法人团(tuan)体等(deng)概念,它们在自然界(jie)中并不(bu)存(cun)在,只是(shi)人们脑(nao)子(zi)里构建出的(de)(de)(de)(de)概念,但是(shi)如果没有(you)(you)它们,这个社(she)会就(jiu)(jiu)运行不(bu)下(xia)去。今天,衡量(liang)一(yi)个人认(ren)知(zhi)水(shui)平的(de)(de)(de)(de)一(yi)个标准,就(jiu)(jiu)是(shi)看他接受虚(xu)拟概念的(de)(de)(de)(de)能力有(you)(you)多强(qiang),如果他只停留(liu)在看得见摸得着(zhe)的(de)(de)(de)(de)东西,这个人的(de)(de)(de)(de)水(shui)平就(jiu)(jiu)不(bu)是(shi)很高。


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